Question

如圖，拋物線：交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，拋物線向右平移2個(gè)單位后得到拋物線，交x軸于C、D兩點(diǎn)。

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線或在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A、B重合），那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q是否在拋物線上，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）令y=0，得=0，
∴，
∴A（-3，0），B（1，0），
∵拋物線向右平移2個(gè)單位后得到拋物線，
∴C（-1，0），D（3，0），a=-1，
∴拋物線為y=-(x+1)(x-3)，即。
（2）存在。
令x=0，得y=3，∴M（0，3），
∵拋物線是拋物線向右平移2個(gè)單位后得到的，
∴點(diǎn)N（2，3）在上，且MN=2，MN∥AC，
又∵AC=2，
∴MN=AC，
∴四邊形ACNM為平行四邊形，
同理，上的點(diǎn)N′（-2，3）滿足N′M∥AC，N′M=AC，
∴四邊形ACMN′是平行四邊形，
∴N（2，3），N′（-2，3）即為所求。
（3）設(shè)P₁（x₁，y₁）是上任意一點(diǎn)（y₁≠0），
則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q（-x₁，-y₁），且，
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入，
得，
∴點(diǎn)Q不在拋物線上。