Question

【題目】如圖，有一時(shí)鐘，時(shí)針OA長為6cm，分針OB長為8cm，△OAB隨著時(shí)間的變化不停地改變形狀．求：

（1）如圖①，13點(diǎn)時(shí)，△OAB的面積是多少？

（2）如圖②，14點(diǎn)時(shí)，△OAB的面積比13點(diǎn)時(shí)增大了還是減少了？為什么？

（3）問多少整點(diǎn)時(shí)，△OAB的面積最大？最大面積是多少？請說明理由．

（4）設(shè)∠BOA＝α（0°≤α≤180°），試歸納α變化時(shí)△OAB的面積有何變化規(guī)律（不證明）

Answer 1

【答案】（1）12cm2；（2）14點(diǎn)時(shí)比13點(diǎn)時(shí)△OAB的面積增大了，見解析；（3）3點(diǎn)時(shí)（即15時(shí)）或9點(diǎn)時(shí)（即21時(shí)）時(shí)△OAB的面積最大，24 cm2，見解析；（4）當(dāng)α＝0°、180°時(shí)不構(gòu)成三角形；當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而增大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而減小

【解析】

（1）如圖①，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E．在13點(diǎn)時(shí)，∠BOA＝30°，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（2）如圖②，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E．在14點(diǎn)時(shí)，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）3點(diǎn)時(shí)（即15時(shí)）或9點(diǎn)時(shí)（即21時(shí)）時(shí)△OAB的面積最大，如圖③④．根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（4）當(dāng)α＝0°、180°時(shí)不構(gòu)成三角形；當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而增大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而減小．

解：（1）如圖①，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E．

在13點(diǎn)時(shí)，∠BOA＝30°，

∴BE＝OB＝4（cm），

∴S△OAB＝OABE＝×6×4＝12（cm2）；

（2）如圖②，過點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E．

在14點(diǎn)時(shí)，∠BOA＝60°，＝sin60°，BE＝8×＝4（cm），

∴S△OAB＝×4×6＝12（cm2）．

∵12＞12，

∴14點(diǎn)時(shí)比13點(diǎn)時(shí)△OAB的面積增大了；（3）3點(diǎn)時(shí)（即15時(shí)）或9點(diǎn)時(shí)（即21時(shí)）時(shí)△OAB的面積最大，如圖③④．

∵此時(shí)BE最長，BE＝OB＝8 cm，而OA不變，

∴S＝OAOB＝×6×8＝24（cm2）；

（4）當(dāng)α＝0°、180°時(shí)不構(gòu)成三角形；

①當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，α越大，OA不變，OA邊上的高越來越大，

∴S△OAB的值隨α增大而增大；

②當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，OA不變，但OA邊上的高越來越小，

∴S△OAB的值隨α增大而減�。�

綜上所述，當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而增大；當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，S△OAB的值隨α增大而減小．