Question

如圖，在△ABC中，內角平分線BP和外角平分線CP相交于點P，根據下列條件求∠P的度數．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠P=______，若∠ABC+∠ACB=110°，則∠P=______；
（2）若∠BAC=90°，則∠P=______；
（3）從以上的計算中，你能發(fā)現∠P與∠BAC的關系是______；
（4）證明第（3）題中你所猜想的結論．

Answer 1

（1）解：∵∠ACB=80°，
∴∠ACD=180°-80°=100°，
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=∠ABC=×50°=25°，∠PCD=∠ACD=×100°=50°，
在△PCD中，∠PBC+∠P=∠PCD，
即25°+∠P=50°，
解得∠P=25°；
∵∠ABC+∠ACB=110°，
∴∠A=180°-110°=70°，
∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根據三角形的外角性質，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠A+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠A=2∠P，
∠P=∠A=×70°=35°；

（2）解：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根據三角形的外角性質，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=∠BAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠P=45°；

（3）由計算可知，∠P=∠A；

（4）證明：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
根據三角形的外角性質，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∠P=∠BAC．
故答案為：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P=∠A．
分析：（1）根據互為鄰補角的和等于180°求出∠ACD的度數，再根據角平分線的定義求出∠PBC、∠PCD，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可求出∠P的度數，根據三角形的內角和定理求出∠A的度數，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠PCD，整理即可得解；
（2）根據（1）的思路可以求出∠P=∠BAC；
（3）根據計算得出關系式即可；
（4）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據角平分線的定義可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，然后整理即可得證．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，規(guī)律性較強，但難度不大，用兩種方法表示出∠PCD是解題的關鍵．