Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，動點M，N分別從A，C同時向B，D勻速移動，且兩點的運動速度相同，當動點M到達B點時，M，N同時停止運動，過點N作NP⊥CD，交BD于P點，當△BMP為等腰三角形時，AM＝_____．

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

由△MPB為等腰三角形，分PM＝PB或PM＝MB或PB＝BM三種情況討論，分別求x的值，即可解題．

解：延長NP交AB于點H，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，BD＝5

∵點M，點N的運動速度相同，

∴AM＝CN

設AM＝CN＝x，則MB＝3﹣x，

∵PN⊥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°

∴四邊形BCNH是矩形

∴BH＝CN＝x，PN∥AD∥BC

∴△BPH∽△BDA

∴

∴

∴BP＝x，HP＝x，

當BP＝MP時，

∵PH⊥BM

∴BH＝HM＝x，

∵AM+MH+BH＝3x＝AB＝3

∴x＝1

當BM＝BP時，

∴x＝3﹣x

∴x＝

當MP＝BM時，

∴3﹣x＝

∴x＝

∴AM＝1或或

故答案為：1或或.