Question

如圖，有一正方形的紙片ABCD，邊長為6，點(diǎn)E是DC邊上一點(diǎn)且DC=3DE，把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，延長EF交BC邊于點(diǎn)G，連接AG．有以下四個(gè)結(jié)論：
①∠GAE=45°；②BG+DE=GE；③點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)；④連接FC，則FC∥AG．
其中正確的結(jié)論序號是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,正方形的性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：先計(jì)算出DE=2，EC=4，再根據(jù)折疊的性質(zhì)AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根據(jù)“HL”可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，則GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=

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2

∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；設(shè)BG=x，則GF=x，C=BC-BG=6-x，在Rt△CGE中，根據(jù)勾股定理得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，則BG=CG=3，則點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)；同時(shí)得到GF=GC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根據(jù)平行線的判定方法得到CF∥AG．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長為6，DC=3DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中

AB=AF AG=AG

，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=

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2

∠BAD=45°，所以①正確；
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以②正確；
設(shè)BG=x，則GF=x，C=BC-BG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6-x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，CG=6-3=3，
∴BG=CG，即點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，所以③正確；
∴GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理和正方形的性質(zhì)．