Question

如圖所示，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．
（1）求證：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)椤鰽OC是等腰三角形，即可求證．
（2）根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑．

解答：（1）證明：連接OC，
∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于E，
∴CE=ED，

CB

=

DB

．（2分）
∴∠BCD=∠BAC．（3分）
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∴∠ACO=∠BCD．（5分）

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OE=OB-EB=（R-8）cm，
CE=

1

2

CD=

1

2

×24=12cm，（6分）
在Rt△CEO中，由勾股定理可得
OC²=OE²+CE²，即R²=（R-8）²+12²（8分）
解得R=13，∴2R=2×13=26cm．
答：⊙O的直徑為26cm．（10分）

點(diǎn)評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力．