【題目】解答
(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.
證明:DE=BD+CE.

(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.

【答案】
(1)證明:∵BD⊥直線m,CE⊥直線m,

∴∠BDA=∠CEA=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°,

∵∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

,

∴△ADB≌△CEA(AAS),

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE


(2)證明:成立.

∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,

∴∠CAE=∠ABD,

∵在△ADB和△CEA中

,

∴△ADB≌△CEA(AAS),

∴AE=BD,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE


(3)證明:△DEF是等邊三角形.

由(2)知,△ADB≌△CEA,

BD=AE,∠DBA=∠CAE,

∵△ABF和△ACF均為等邊三角形,

∴∠ABF=∠CAF=60°,

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,

∴∠DBF=∠FAE,

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

,

∴△DBF≌△EAF(SAS),

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

∴△DEF為等邊三角形


【解析】(1)根據(jù)BD⊥直線m,CE⊥直線m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根據(jù)等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA,則AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)與(1)的證明方法一樣;(3)由前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA,則BD=AE,∠DBA=∠CAE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60°,則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,則∠DBF=∠FAE,利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形.

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