Question

如圖，正方形OEFG繞著邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設(shè)正方形OEFG的對(duì)角線OF與邊AB相交于點(diǎn)P，連接PM．若PM=5，試求AM的長(zhǎng)；
（3）連接MN，求線段MN長(zhǎng)度的最小值，并指出此時(shí)線段MN與線段BD的關(guān)系．

Answer 1

（1）證明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，
∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
∵，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；

（2）∵OF是正方形OEFG的對(duì)角線，
∴∠POM=∠PON，
在△POM和△PON中，
∵，
∴△POM≌△PON（SAS），
∴PN=PM=5，
∵△AOM≌△BON，
∴BN=AM，
設(shè)AM=BN=x，則AP=AB-BN-PN=12-x-5=7-x，
在Rt△AMP中，AM²+AP²=PM²，
即x²+（7-x）²=5²，
整理得，x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4，
所以，AM的長(zhǎng)為3或4；

（3）設(shè)AM=BN=x，則AN=AB-BN=12-x，
在Rt△AMN中，AM²+AN²=MN²，
即MN²=x²+（12-x）²=2（x-6）²+72，
所以，當(dāng)x=6，即AM=6時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最小，
此時(shí)，MN==6，
AN=12-x=12-6=6，
所以，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，MN是△ABD的中位線，
MN∥BD，且MN=BD．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角邊角”證明△AOM和△BON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠POM=∠PON，然后利用“邊角邊”證明△POM和△PON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PN=PM，設(shè)AM=x，用x表示出AP，然后在Rt△APM中，根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)AM=x，用x表示出AN，然后在Rt△AMN中，根據(jù)勾股定理列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出AM=6時(shí)線段MN長(zhǎng)度的最小值，從而得到點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，然后求出點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得MN與BD平行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角，正方形的對(duì)角線相等且互相平分是解題的關(guān)鍵．