Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AD=6，DC=4

2

，∠C=45°．動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿C→D→A運(yùn)動(dòng)，在CD上的速度為每秒

2

個(gè)單位長度，在DA上的速度為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)是另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求BC的長．
（2）當(dāng)四邊形ABMN是平行四邊形時(shí)，求t的值．
（3）試探究：t為何值時(shí)，△ABM為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）首先過A、D作AE⊥BC，DF⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求出BE，EF，F(xiàn)C，進(jìn)而得出BC的長；
（2）由題意，點(diǎn)N必在DA上，且BM=AN，四邊形ABMN是平行四邊形，進(jìn)而求出即可；
（3）根據(jù)當(dāng)BA=BM時(shí)，當(dāng)AB=AM時(shí)，當(dāng)MA=MB時(shí)分別求出t的值即可．

解答：解：（1）分別過A、D作AE⊥BC，DF⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，
∵DC=4

2

，∠C=45°，
∴DF=CDsin45°=4，
∴DF=FC=AE=4，
∴BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
EF=AD=6，
∴BC=BE+EF+FC=3+6+4=13；

（2）如圖2，由題意，點(diǎn)N必在DA上，且BM=AN，
當(dāng)t秒時(shí)，BM=t，在CD上運(yùn)動(dòng)需要4秒，則AN=6-DN=6-（4-t）
∴t=6-（t-4）
解得：t=5，
當(dāng)四邊形ABMN是平行四邊形時(shí)，t的值為5；

（3）當(dāng)BA=BM時(shí)，∵AB=5，
∴AB=BM=5，∵點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
則t=5；
當(dāng)AB=AM時(shí)，由（1）得出BE=3，
∴BE=EM=3，
∴BM=6，則t=6；
當(dāng)MA=MB時(shí)，由BM²=EM²+AE²，
∴t²=（t-3）²+4²，
解得：t=

25

6

．
綜上所述：t為5，6，

25

6

時(shí)，△ABM為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)與判定和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．