Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點C（0，1），且與x軸交于不同的兩點A、B，若點A的坐標是（1，0），點B在點A的右側．
（1）c=

1

；
（2）求a的取值范圍；
（3）若過點C且平行于x軸的直線交該拋物線于另一點D，AD、BC交于點P，記△PCD的面積為S₁，△PAB的面積為S₂，求S₁-S₂的值．

Answer 1

分析：（1）將點C（0，1）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），即可求得c的值；
（2）將點A（1，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），二次函數(shù)與x軸交于不同的兩點，根據(jù)判別式可得a≠1，點B在點A的右側，可得對稱軸直線x=-

b

2a

＞1．從而得到a的取值范圍是：0＜a＜1；
（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，得AB=

1-a

a

．把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得CD=

a+1

a

．S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，根據(jù)三角形面積公式代入計算即可求解．

解答：解：（1）將點C（0，1）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0），可得1=0+0+c，
解得c=1；

（2）將點A（1，0）代入二次函數(shù)y=ax²+bx+1（a＞0），可得a+b+1=0，即b=-（a+1），
∵二次函數(shù)與x軸交于不同的兩點，
∴△=b²-4ac=（a-1）²＞0，
∴a≠1，
∵點B在點A的右側，
∴對稱軸直線x=-

b

2a

＞1．
∵a＞0，
∴2a+b＜0，
∴a＜1，
∴a的取值范圍是：0＜a＜1；

（3）解方程：ax²-（a+1）x+1=0，
得：x₁=1，x₂=

1

a

．
∴AB=

1-a

a

．
把y=1代入y=ax²-（a+1）x+1，得x₁=0，x₂=

a+1

a

．
∴CD=

a+1

a

．
∵S₁-S₂=S_△PCD-S_△PAB=S_△ACD-S_△CAB，
∴S₁-S₂=

1

2

×

a+1

a

×1-

1

2

×

1-a

a

×1=1．
故答案為：1．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：代入法的運用，根與判別式的關系，對稱軸公式，解方程，三角形面積計算，綜合性較強．