Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式y=2x2﹣8x+6；（2）存在．當n=時，線段PC有最大值．

【解析】

試題分析：（1）將點B坐標代入直線解析式，求出m的值，然后把A、B坐標代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）設動點P的坐標為（n，n+2），點C的坐標為（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的長度，然后利用配方法求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時n的值．

解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=6，即B（4，6），

∵A（，）和B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式y=2x2﹣8x+6；

（2）存在．

設動點P的坐標為（n，n+2），點C的坐標為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∵﹣2＜0，

∴開口向下，有最大值，

∴當n=時，線段PC有最大值．