Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)A（3，0）為圓心，5為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），與y軸相交于點(diǎn)D、M（點(diǎn)D在點(diǎn)M的下方）．
（1）求以直線x=3為對(duì)稱軸，且經(jīng)過D、C兩點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若E為直線x=3上的任一點(diǎn)，則在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)求出B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求出D的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線的解析式，由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)從兩種情況進(jìn)行解答，當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時(shí)，必有 EF∥BC，且EF=BC=10．設(shè)出F的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式，可以求出符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)如（圖1）；當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，有AE=AF，如（圖2）．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性就可以求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，∵圓以點(diǎn)A（3，0）為圓心，5為半徑，
∴根據(jù)圓的對(duì)稱性可知 B（-2，0），C（8，0）．
連接AD．
在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OA=3，AD=5，
∴OD=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-4）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx-4，
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（8，0），且對(duì)稱軸為x=3，
∴

- b 2a =3 64a+8b-4=0.

解得  

a= 1 4 b=- 3 2 .

∴所求的拋物線的解析式為 y=

1

4

x2-

3

2

x-4．

（2）存在符合條件的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
分兩種情況．
Ⅰ：當(dāng)BC為平行四邊形的一邊時(shí)，
必有 EF∥BC，且EF=BC=10．
∴由拋物線的對(duì)稱性可知，
存在平行四邊形BCEF₁和平行四邊形CBEF₂．如（圖1）．
∵E點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，∴設(shè)點(diǎn)E為（3，e），且e＞0．
則F₁（-7，t），F(xiàn)₂（13，t）．
將點(diǎn)F₁、F₂分別代入拋物線的解析式，解得 t=

75

4

．
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(-7，

75

4

)或F2(13，

75

4

)．
Ⅱ：當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
必有AE=AF，如（圖2）．
∵點(diǎn)F在拋物線上，∴點(diǎn)F必為拋物線的頂點(diǎn)．
由y=

1

4

x2-

3

2

x-4=

1

4

(x-3)2-

25

4

，
知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-

25

4

）．
∴此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為F3(3，-

25

4

)．
∴在拋物線上存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為：F1(-7，

75

4

)，F2(13，

75

4

)，F3(3，-

25

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．