Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6且∠DAB=60°，以點(diǎn)A為原點(diǎn)、邊AB所在的直線為x軸且頂點(diǎn)D在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DCB向終點(diǎn)B以2單位/每秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸負(fù)半軸以1單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，直線PQ交邊AD于點(diǎn)E．
（1）求出經(jīng)過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）是否存在時(shí)刻t使得PQ⊥DB，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)AE長(zhǎng)為y，試求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）若F、G為DC邊上兩點(diǎn)，且點(diǎn)DF=FG=1，試在對(duì)角線DB上找一點(diǎn)M、拋物線ADC對(duì)稱軸上找一點(diǎn)N，使得四邊形FMNG周長(zhǎng)最小并求出周長(zhǎng)最小值．

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式可利用待定系數(shù)法，關(guān)鍵在于確定點(diǎn)D、C的坐標(biāo)．在等邊△DAB中，已知邊長(zhǎng)，容易求出點(diǎn)D到x、y軸的距離，據(jù)此可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．而將點(diǎn)D向右平移6個(gè)單位就能得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，則此問(wèn)可解．
（2）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，那么連接AC后，則有AC⊥DB，若PQ⊥DB，必須滿足PQ∥AC，顯然當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)是不會(huì)符合該條件的，那么只有P在CD上這一種情況．此時(shí)，四邊形PCAQ是平行四邊形，由對(duì)邊相等（即PC=AQ）列等式即可求出t值．
（3）此問(wèn)應(yīng)分作兩段分析：
①P在CD上，此時(shí)AQ∥DP，有△DEP∽△AEQ，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AE、DE的比例關(guān)系，由此得到y(tǒng)的表達(dá)式；
②P在BC上，此時(shí)AE∥PB，有△QEA∽△QPB，解題思路同①，利用相似三角形的性質(zhì)得到y(tǒng)的表達(dá)式．
（4）要注意兩條關(guān)鍵線：直線BD、拋物線的對(duì)稱軸；若使得四邊形FMNG的周長(zhǎng)最小，可先作F、G分別關(guān)于直線BD、拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)F′、G′，連接F′G′后，與BD、對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是符合條件的M、N，那么四邊形的最小周長(zhǎng)即為F′G′+FG．

解答：解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
則：D到y(tǒng)軸的距離=

1

2

AB=3、D到x軸的距離=DA•sin∠DAB=3

3

；
∴D（3，3

3

）；
由于DC∥x軸，且DC=AB=6，那么將點(diǎn)D右移6個(gè)單位后可得點(diǎn)C，即C（9，3

3

）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx，有：

a×32+b×3=3 3 a×92+b×9=3 3

，解得

a=- 1 9 3 b= 4 3 3

∴拋物線解析式為：y=-

1

9

3

x²+

4

3

3

x．

（2）如圖1，連接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，則PQ∥AC，那么P在BC上時(shí)不存在符合要求的t值，
當(dāng)P在DC上時(shí)，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四邊形PCAQ是平行四邊形，
則PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在DC上，即0≤t≤3時(shí)，
有△EDP∽△EAQ，
則

AE

DE

=

AQ

DP

=

t

2t

=

1

2

，
那么AE=

1

3

AD=2，即y=2；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CB上，
即3＜t≤6時(shí)，有△QEA∽△QPB，
則

AE

PB

=

AQ

QB

，即

AE

12-2t

=

t

6+t

，
得y=

2t(6-t)

6+t

，
綜上所述：y=

2(0≤t≤3) 2t(6-t) 6+t (3＜t≤6)

，

（4）如圖3，作點(diǎn)F關(guān)于直線DB的對(duì)稱點(diǎn)F′，由菱形對(duì)稱性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作點(diǎn)G關(guān)于拋物線ADC對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)G′，
易求DG′=4，
連接F′G′交DB于點(diǎn)M、交對(duì)稱軸于點(diǎn)N，點(diǎn)M、N即為所求的兩點(diǎn)．
過(guò)F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F(xiàn)′D=1；
則：F′H=F′D•sin60°=

3

2

，HD=F′D•cos60°=

1

2

，HG′=HD+DG′=

9

2

．
用勾股定理計(jì)算得F′G′=

21

，所以四邊形FMNG周長(zhǎng)最小為F′G′+FG=

21

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題為函數(shù)幾何綜合解答題，涉及了二次函數(shù)、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理、軸對(duì)稱性等有關(guān)知識(shí)，也重點(diǎn)考查了學(xué)生對(duì)分類討論思想的掌握情況．本題著力菱形的各項(xiàng)性質(zhì)而設(shè)計(jì)，如“菱形的對(duì)角線互相垂直”、“菱形對(duì)邊互相平行”、“菱形是軸對(duì)稱圖形”等，（2）（3）（4）問(wèn)依次考察了學(xué)生對(duì)菱形基本性質(zhì)的掌握程度及運(yùn)用其性質(zhì)靈活解題的能力，本題在設(shè)計(jì)時(shí)，（1）（2）（3）（4）問(wèn)難度依次遞增，充分考慮了不同層次的學(xué)生，讓每位答題的學(xué)生都有所收獲，都能獲取成功的體驗(yàn)，同時(shí)本題又兼顧了壓軸題的選拔功能，通過(guò)本題可以很好地區(qū)分學(xué)生的層次，激發(fā)更多的學(xué)生去攀登數(shù)學(xué)高峰．