Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6且∠DAB=60°，以點A為原點、邊AB所在的直線為x軸且頂點D在第一象限建立平面直角坐標系．動點P從點D出發(fā)沿折線DCB向終點B以2單位/每秒的速度運動，同時動點Q從點A出發(fā)沿x軸負半軸以1單位/秒的速度運動，當點P到達終點時停止運動，運動時間為t，直線PQ交邊AD于點E．
（1）求出經過A、D、C三點的拋物線解析式；
（2）是否存在時刻t使得PQ⊥DB，若存在請求出t值，若不存在，請說明理由；
（3）設AE長為y，試求y與t之間的函數(shù)關系式；
（4）若F、G為DC邊上兩點，且點DF=FG=1，試在對角線DB上找一點M、拋物線ADC對稱軸上找一點N，使得四邊形FMNG周長最小并求出周長最小值．

Answer 1

分析：（1）求拋物線的解析式可利用待定系數(shù)法，關鍵在于確定點D、C的坐標．在等邊△DAB中，已知邊長，容易求出點D到x、y軸的距離，據此可得點D的坐標．而將點D向右平移6個單位就能得到點C的坐標，則此問可解．
（2）菱形的對角線互相垂直平分，那么連接AC后，則有AC⊥DB，若PQ⊥DB，必須滿足PQ∥AC，顯然當點P在BC上時是不會符合該條件的，那么只有P在CD上這一種情況．此時，四邊形PCAQ是平行四邊形，由對邊相等（即PC=AQ）列等式即可求出t值．
（3）此問應分作兩段分析：
①P在CD上，此時AQ∥DP，有△DEP∽△AEQ，利用對應邊成比例可求出AE、DE的比例關系，由此得到y(tǒng)的表達式；
②P在BC上，此時AE∥PB，有△QEA∽△QPB，解題思路同①，利用相似三角形的性質得到y(tǒng)的表達式．
（4）要注意兩條關鍵線：直線BD、拋物線的對稱軸；若使得四邊形FMNG的周長最小，可先作F、G分別關于直線BD、拋物線對稱軸的對稱點F′、G′，連接F′G′后，與BD、對稱軸的交點就是符合條件的M、N，那么四邊形的最小周長即為F′G′+FG．

解答：解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6
則：D到y(tǒng)軸的距離=

1

2

AB=3、D到x軸的距離=DA•sin∠DAB=3

3

；
∴D（3，3

3

）；
由于DC∥x軸，且DC=AB=6，那么將點D右移6個單位后可得點C，即C（9，3

3

）；
設拋物線的解析式為：y=ax²+bx，有：

a×32+b×3=3 3 a×92+b×9=3 3

，解得

a=- 1 9 3 b= 4 3 3

∴拋物線解析式為：y=-

1

9

3

x²+

4

3

3

x．

（2）如圖1，連接AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，則PQ∥AC，那么P在BC上時不存在符合要求的t值，
當P在DC上時，由于PC∥AQ且PQ∥AC，
所以四邊形PCAQ是平行四邊形，
則PC=AQ，有6-2t=t，得t=2．

（3）①如圖1，當點P在DC上，即0≤t≤3時，
有△EDP∽△EAQ，
則

AE

DE

=

AQ

DP

=

t

2t

=

1

2

，
那么AE=

1

3

AD=2，即y=2；
②如圖2，當點P在CB上，
即3＜t≤6時，有△QEA∽△QPB，
則

AE

PB

=

AQ

QB

，即

AE

12-2t

=

t

6+t

，
得y=

2t(6-t)

6+t

，
綜上所述：y=

2(0≤t≤3) 2t(6-t) 6+t (3＜t≤6)

，

（4）如圖3，作點F關于直線DB的對稱點F′，由菱形對稱性知F′在DA上，用DF′=DF=1；
作點G關于拋物線ADC對稱軸的對稱點G′，
易求DG′=4，
連接F′G′交DB于點M、交對稱軸于點N，點M、N即為所求的兩點．
過F′作F′H⊥DG′于H，
在Rt△F′HD中，∠F′DH=180°-∠ADC=60°，F(xiàn)′D=1；
則：F′H=F′D•sin60°=

3

2

，HD=F′D•cos60°=

1

2

，HG′=HD+DG′=

9

2

．
用勾股定理計算得F′G′=

21

，所以四邊形FMNG周長最小為F′G′+FG=

21

+1．

點評：此題為函數(shù)幾何綜合解答題，涉及了二次函數(shù)、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理、軸對稱性等有關知識，也重點考查了學生對分類討論思想的掌握情況．本題著力菱形的各項性質而設計，如“菱形的對角線互相垂直”、“菱形對邊互相平行”、“菱形是軸對稱圖形”等，（2）（3）（4）問依次考察了學生對菱形基本性質的掌握程度及運用其性質靈活解題的能力，本題在設計時，（1）（2）（3）（4）問難度依次遞增，充分考慮了不同層次的學生，讓每位答題的學生都有所收獲，都能獲取成功的體驗，同時本題又兼顧了壓軸題的選拔功能，通過本題可以很好地區(qū)分學生的層次，激發(fā)更多的學生去攀登數(shù)學高峰．