Question

【題目】如圖，拋物線 y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－3，0）、B(1,0)、C(－2，1)，交y軸于點(diǎn)M.
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A．N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知 .解得 .

∴拋物線的表達(dá)式為y= .

（2）

解：將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0,1）.

設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則

.解得k= ，b=1.∴直線MA的表達(dá)式為y= x+1.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）.

DF=

= .

當(dāng) 時(shí)，DF的最大值為 .

此時(shí) ，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）.

（3）

存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A．N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似.

在Rt△MAO中，AO=3MO,要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限.

① 設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=－8.又－3<M<0,故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在.

② 當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3NM,

∴ ，即 .

解得m=－3或m=8.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－8，,15）.

③ 當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，

若AN=3PN時(shí),則－3 ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=2.

當(dāng)m=2時(shí)， .此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，－ ）.

若PN=3NA,則－ ，即 .

解得m=－3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，,39）.

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－8，,15）、（2，－ ）、（10，,39）.

【解析】（1）把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a、b、c的值；
（2）表示出D、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)和DF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）利用三角形的相似性進(jìn)行解答。
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．