Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)及對稱軸；
（2）①試說明無論a為何值，拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點，并求出這兩個定點的坐標(biāo)；②將拋物線C1沿這兩個定點所在直線翻折，得到拋物線C2 ， 直接寫出C2的表達(dá)式；
（3）若（2）中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時，拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴對稱軸為y=2；

∴當(dāng)y=0時，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）

（2）解：①拋物線C1解析式為：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵當(dāng)ax（x﹣4）=0時，y恒定為﹣5；

∴拋物線C1一定經(jīng)過兩個定點（0，﹣5），（4，﹣5）；

②這兩個點連線為y=﹣5；

將拋物線C1沿y=﹣5翻折，得到拋物線C2，開口方向變了，但是對稱軸沒變；

∴拋物線C2解析式為：y=﹣ax2+4ax﹣5

（3）解：拋物線C2的頂點到x軸的距離為2，

則x=2時，y=2或者﹣2；

當(dāng)y=2時，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

當(dāng)y=﹣2時，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a= ；

∴a= 或

【解析】（1）將a=1代入解析式，即可求得拋物線與x軸交點；（2）①化簡拋物線解析式，即可求得兩個點定點的橫坐標(biāo)，即可解題；②根據(jù)拋物線翻折理論即可解題；（3）根據(jù)（2）中拋物線C2解析式，分類討論y=2或﹣2，即可解題；
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)圖象的平移和拋物線與坐標(biāo)軸的交點，需要了解平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能得出正確答案．