Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-1，0）、B（3，0），交y軸于點C．
（1）求拋物線的頂點M的坐標(biāo)；（用a的代數(shù)式表示）
（2）直線y=x+d經(jīng)過C、M兩點，并且與x軸交于點D．
①求拋物線的函數(shù)表達式；
②若四邊形CDAN是平行四邊形，且點N在拋物線上，則點N的坐標(biāo)為（

 

，

 

）；
③設(shè)點P是拋物線對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可得到a、b以及a、c的關(guān)系式，進而可用配方法求出頂點M的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線的解析式，可表示出C點的坐標(biāo)，將C、D的坐標(biāo)代入直線CM的解析式中即可求出a的值，進而可確定拋物線的解析式；
②若四邊形CDAN是平行四邊形，則CN∥x軸，即C、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，由此可求出N點的坐標(biāo)；
③設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為Q；假設(shè)存在符合條件的P點，且⊙P與直線DM的切點為E，連接PE；若⊙P同時經(jīng)過A、B兩點，根據(jù)圓和拋物線的對稱性知圓心P必在拋物線的對稱軸上；可設(shè)出⊙P的半徑，易證得△DMQ是等腰直角三角形，則∠EMQ=45°，可據(jù)此表示出PM的長；在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理可表示出PQ的長，由于PQ+PM=MQ，可根據(jù)這個等量關(guān)系列出關(guān)于⊙P半徑的方程，進而可求出P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由于拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0），則有：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
∴M（1，-4a）；

（2）①由（1）知：C（0，-3a）；
∴直線y=x+d中，d=-3a，即y=x-3a；
∵直線y=x-3a經(jīng)過M（1，-4a），
則有：1-3a=-4a，a=-1；
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
②由①的拋物線知：C（0，3），M（1，4），對稱軸為x=1；
若四邊形CDAN是平行四邊形，則CN∥x軸，
∴C、N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
即N（2，3）；
③存在符合條件的P點，且P（1，2

6

-4）
易知A（-1，0），B（3，0），M（1，4）；
由①可得直線CM的解析式為y=x+3，則D（-3，0）；
設(shè)拋物線的對稱軸x=1與x軸的交點為Q，⊙P與直線CD的切點為E，連接PE、PA；
根據(jù)圓和拋物線的對稱性知，圓心P必在拋物線的對稱軸上，可設(shè)PE=PA=m；
∵在Rt△DMQ中，DQ=MQ=4，
∴△MDQ是等腰Rt△，∠DMQ=45°；
在Rt△PME中，PE=m，∠EMP=∠DMQ=45°，則PM=

2

m；
在Rt△PAQ中，PA=m，AQ=

1

2

AB=2，則PQ=

m2-4

；
由于MQ=MP+PQ=4，即：

2

m+

m2-4

=4，
解得m=4

2

-2

3

；
∴

2

m=8-2

6

，4-

2

m=2

6

-4；
即P（1，2

6

-4）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定和性質(zhì)、拋物線和圓的對稱性、直線與圓的位置關(guān)系以及解直角三角形的應(yīng)用等知識，能力要求較高，難度較大．