Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于C點，AC平分∠DAB．
（1）求證：AD⊥CD；
（2）若AD=2，，求⊙O的半徑R的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，由題意得OC⊥CD．又因為AC平分∠DAB，則∠1=∠2=∠DAB．即可得出AD∥OC，則AD⊥CD；
（2）連接BC，則∠ACB=90°，可證明△ADC∽△ACB．則=，從而求得R．
解答：（1）證明：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于C點，AB是⊙O的直徑，∴OC⊥CD．（1分）
又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=∠DAB．
又∠COB=2∠1=∠DAB，（3分）
∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°，
在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分）
∴△ADC∽△ACB．（7分）
∴=（9分）
∴R==．（10分）
點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理以及相似三角形的判定和性質，是中檔題，難度不大．