Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AC為直徑的⊙0與BC邊交于點D，過點D作⊙O的切線DE，交AB于點E，若DE⊥AB．
求證：AE=3BE．

Answer 1

證明：連接AD，OD，如圖所示：
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵DE為圓O的切線，
∴OD⊥DE，又DE⊥AB，
∴AB∥OD，
∴∠ODC=∠B，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA=∠B，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AC為直徑，
∴AD⊥BC，又AB=AC，
∴BD=CD，
在Rt△BDE中，∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
在Rt△BDA中，∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∴AB=4BE，
則AE=3BE．
分析：連接AD，OD，如圖所示，由半徑OD=OC，利用等邊對等角得到一對角相等，由DE為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，再由DE⊥AB，利用垂直于同一條直線的兩直線平行得到AB與OD平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODC=∠B，由AB=BC，利用等邊對等角得到∠BAC=∠BCA，進而得到三角形ABC為等邊三角形，得到∠BDE=∠BAD=30°，在直角三角形BDE中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半得到BD=2BE，在直角三角形ABD中，同理得到AB=2BD，進而得到AB=4BE，即可得到AE=3BE，得證．
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，以及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關鍵．