Question

如圖10-1，已知拋物線y = 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于
點C，且OB=OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2分）
（2）若點P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），分別以AP、BP為一邊，在直線AB的同側(cè)作等邊三角形APM和BPN，求△PMN的最大面積，并寫出此時點P的坐標；（3分）
（3）如圖10-2，若拋物線的對稱軸與x軸交于點D，F(xiàn)是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個動點，直線FD與y軸交于點E．是否存在點F，使△DOE與△AOC相似？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．（4分）
    

Answer 1

（1）解：令x = 0得，y = 4，∴C（0，4）
∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分
代入拋物線表達式得：
16a–8a + 4 = 0，解得a =
∴拋物線的函數(shù)表達式為………………………2分
（2）解：過點M作MG⊥x軸于G，過點N作NH⊥x軸于H，

設P（x，0），△PMN的面積為S，則
PG=，MG=，PH=，NH=
∴S=
=
=
= …………………………3分
=
∵，∴當x=1時，S有最大值是………………4分
∴△PMN的最大面積是，此時點P的坐標是（1，0）………………5分
（3）解：存在點F，使得△DOE與△AOC相似．有兩種可能情況：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由拋物線得：A（–2，0），對稱軸為直線x = 1
∴OA=2，OC=4，OD=1
①若△DOE∽△AOC，則
∴，解得OE=2
∴點E的坐標是（0，2）或（0，–2）
若點E的坐標是（0，2），則直線DE為：
解方程組
得：，（不合題意，舍去）
此時滿足條件的點F₁的坐標為（，）……………………6分
若點E的坐標是（0，–2），
同理可求得滿足條件的點F₂的坐標為（，）…………7分
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得滿足條件的點F₃的坐標為（，）……………8分
滿足條件的點F₄的坐標為（，）………………………………9分
綜上所述，存在滿足條件的點F，點F的坐標為：
F₁（，）、F₂（，）、F₃（，
或F₄（，）．解析:
略