Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點A、C、D在⊙O上，過D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF＝∠ADC．

(1)判斷直線BP和⊙O的位置關系，并說明你的理由；

(2)當⊙O的半徑為，AC＝2，BE＝1時，求BP的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)直線BP和⊙O相切．　1分 　　理由：連接BC，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°．　2分 　　∵PF∥AC，∴BC⊥PF，則∠PBH＋∠BPF＝90°．　3分 　　∵∠BPF＝∠ADC，∠ADC＝∠ABC，得AB⊥BP，　4分 　　所以直線BP和⊙O相切．　5分 　　(2)由已知，得∠ACB＝90°，∵AC＝2，AB＝2，∴BC＝4．　6分 　　∵∠BPF＝∠ADC，∠ADC＝∠ABC，∴∠BPF＝∠ABC， 　　由(1)，得∠ABP＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△EBP，　8分 　　∴＝，解得BP＝2．即BP的長為2．　10分