Question

小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一高壓輸電的鐵架，小山的坡面坡度為1：

3

，斜坡BD的長是50米，在山坡的坡底B處測得鐵架頂端A的仰角為45°，在山坡的坡頂D處測得鐵架頂端A的仰角為60°．則小山的高度為

25

米，鐵架的高度為

25

3

米（結果保留根號）．

Answer 1

分析：過D作DF垂直于BC，交BC于點F，在直角三角形BDF中，由小山的坡面坡度為1：

3

，得出∠DBF=30°，再由∠ADE=60°，∠AED=90°，利用內角和定理得到∠DAE=30°，可得出一對角相等，再由∠CBA=∠CAB=45°，利用等式的性質得到∠DAB=∠DBA，利用等角對等邊得到BD=AD，再由一對直角相等，利用AAS可得出△ADE≌△BDF，利用全等三角形的對應邊相等得到BF=AE，即BF為鐵塔的高，DF為小山的高，在直角三角形BDF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，由BD的長求出DF的長，再利用勾股定理求出BF的長，即為AE的長，即可確定出小山與鐵塔的高．

解答：解：過D作DF⊥BC，交BC于點F，
∵小山的坡面坡度為1：

3

，即tan∠DBF=

3

3

，
∴∠DBF=30°，
又∠ADE=60°，∠AED=90°，
∴∠DAE=30°，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠CBA-∠DBF=∠CAB-∠DAE，即∠DAB=∠DBA，
∴DB=DA，
在△ADE和△BDF中，
∵

∠DAE=∠DBF=30° ∠AED=∠BFD=90° AD=BD

，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE=BF，
在Rt△BDF中，∠DBF=30°，BD=50米，
∴DF=

1

2

BD=25米，
根據勾股定理得：BF=

BD2-DF2

=25

3

米，
則小山的高度為25米，鐵架的高度為25

3

米．
故答案為：25；25

3

點評：此題考查了解直角三角形的應用-坡面與坡角問題以及仰角與俯角問題，涉及的知識有：特殊角的三角函數值，全等三角形的判定與性質，含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，是一道綜合性較強的試題．