Question

在銳角△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，DE⊥AC，E為垂足，DF⊥AB，F(xiàn)為垂足．O為△ABC的外心．
求證：（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF．

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥BC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴Rt△ADB∽R(shí)t△AFD，Rt△ADC∽R(shí)t△AED，
∴，即：AD²=AB•AF，
=，即：AD²=AE•AC，
∴AB•AF=AE•AC，
即：，
又∵∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC；

（2）證明：連接AO并延長(zhǎng)到⊙O上一點(diǎn)M，連接BM，
∵AM是圓的直徑，
∴∠ABM=∠M+∠BAM=90°，
又∵∠C+∠CAD=90°，∠C=∠M，
∴∠BAM=∠CAD，
∵△AEF∽△ABC，
∴∠C=∠AFE，
∴∠AFE+∠BAM=90°，
即：AO⊥EF．
分析：（1）利用直角三角形相似，得出有關(guān)比例式，再利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等，可以證明．
（2）利用圓周及定理以及（1）中結(jié)論，要證垂直，應(yīng)證另兩角互余．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定，以及圓周角定理，綜合性較強(qiáng)，有利于同學(xué)們綜合能力的提高．