Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，現有兩動點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，點P在線段AB上沿AB方向作勻速運動，點Q在線段BC上沿BC方向作勻速運動，已知點P的運動速度為1厘米/秒．
（1）設點Q的運動速度為厘米/秒，運動時間為t秒，△DPQ的面積為S，請你求出S與t的函數關系式；
（2）在（1）的條件下，當△DPQ的面積最小時，求BQ的長；
（3）在（1）的條件下，當△DAP和△PBQ相似時，求BQ的長；
（4）設點Q的運動速度為a厘米/秒，問是否存在a的值，使得△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值，并寫出此時BQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）知道了P、Q的速度，那么可用時間來表示出AP、BQ的長，也就表示出了BP、BQ的長，也就有了△BPQ的直角邊的長，根據三角形的面積公式即可得出關于S與t的函數關系式；
（2）可根據（1）的函數的性質求出S的最大值；
（3）要分兩種情況進行討論，
①當∠ADP=∠BPQ時，AD，BP相對應，AP，BQ相對應，可以根據它們的比例關系求出此時t的值．進而求出BQ的長；
②當∠APD=∠BPQ時，AD，BQ相對應，AP，BP相對應，按照①的方法求t的值即可．
（4）與（3）的方法相同，也是按對應角的不同分成不同的狀況進行討論，最后看看求出的結果是否符合要求．
解答：解：（1）根據題意，①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△ADP-S_△PBQ-S_△DCQ
=60-×6t-×（10-t）•t-×10•（6-t）=t²-3t+30；

（2）S_△DPQ=t²-3t+30=，
當t=6時，S_△DPQ最小，此時BQ=3；

（3）①如圖，當∠DPA=∠QPB時，
，
∴，t²+12t-120=0，
解得：t=2-6，或t=-2-6（不合題意，舍去）
因此，當t=2-6時，BQ=-3；
②如圖，當∠DPA=∠PQB時，
，
∴，
解得：t=7，
因此，當t=7時，即BQ=3.5時，△DAP和△PBQ相似；

（4）假設存在a的值，使△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個三角形都相似，設此時P，Q運動時間為t秒，則AP=t，BQ=at．
①如圖，當∠1=∠3=∠4時，，∴，t²+6t-60=0，
解得：t₁=2，t₂=18（舍去），
此時BQ=at=×2=．
②當∠1=∠3=∠5時，∠DPQ=∠DQP=90°不成立；
③如圖，當∠1=∠2=∠4時，，
∴，
即，將a消掉，可得5t²-36t+180=0，此方程無解，
④當∠1=∠2=∠5時，∠1=∠PDC＞∠5，故不存在這樣的a值．
綜上所述，存在這樣的a值，△ADP與△PBQ和△DCQ這兩個三角形都相似，此時，BQ=．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，二次函數以及矩形的性質等知識點，要注意后兩問中，要分對應角的不同來得出不同的對應線段成比例，從而得出運動時間的值．不要忽略掉任何一種情況．