直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=3,邊BC,AB分別在x軸和y軸上,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(4,0).動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿BC方向作勻速直線運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā),以與P點(diǎn)相同的速度沿DA方向運(yùn)動,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)時(shí),P,Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t,
(1)求線段CD的長.
(2)連接PQ交直線AC于點(diǎn)E,當(dāng)AE:EC=1:2時(shí),求t的值,并求出此時(shí)△PEC的面積.
(3)過Q點(diǎn)作垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N,連接PM,
①是否存在某一時(shí)刻,使以M、P、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請說明理由;
②當(dāng)t=______時(shí),點(diǎn)P、M、D在同一直線上.(直接寫出)
【答案】
分析:(1)過點(diǎn)D作DF⊥BC與F,可得四邊形ABFD是正方形,然后求出DF=AB,BF=AD,再求出FC,再根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求出CD;
(2)用t表示出AQ、CP,再根據(jù)AD∥BC求出△AQE和△CPE相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計(jì)算求出t的值,再求出PC的長以及點(diǎn)E到PC的距離,然后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解;
(3)①先用t表示出MC、PC,然后分PC=MC,MP=MC,MP=PC三種情況,分別根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)列出方程求解即可得到相應(yīng)的t值;
②用t表示出QD、PN,再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式求解即可得到t的值.
解答:解:(1)
如圖,過點(diǎn)D作DF⊥BC與F,
∵四邊形ABCD是直角梯形,AB=AD=3,
∴四邊形ABFD是正方形,
∴DF=AB=3,BF=AD=3,
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(4,0),
∴OC=4,
∴FC=BC-BF=4-3=1,
∴CD=
=
=
;
(2)∵P、Q的速度都是每秒1個(gè)單位,
∴AQ=3-t,CP=4-t,
∵AD∥BC,
∴△AQE∽△CPE,
∴
=
=
,
即
=
,
解得t=2,
∴PC=BC-BP=4-2=2,
∵AE:EC=1:2,
∴點(diǎn)E到BC的距離為
AB=
×3=2,
∴S
△PEC=
×2×2=2;
(3)①存在.
根據(jù)勾股定理,AC=
=
=5,
CN=BC-BN=4-(3-t)=1+t,
cos∠ACB=
=
,
即
=
,
解得MC=
(1+t),
PC=BC-BP=4-t,
如圖1,若MP=MC,則PN=CN,
∴(3-t)-t=1+t,
解得t=
;
如圖2,若PC=MC,則4-t=
(1+t),
解得t=
;
如圖3,若MP=MC,過點(diǎn)P作PG⊥AC于G,
則cos∠ACB=
=
,
即
=
,
解得t=
;
綜上所述,t為
秒或
秒或
時(shí),以M、P、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;
②如圖4,當(dāng)點(diǎn)P、M、D在同一直線上時(shí),
∵AD∥BC,
∴△DQM∽PNM,△ADM∽△CPM,
∴
=
,
=
,
∴
=
,
∵PN=BN-BP=AQ-BP=3-t-t=3-2t,
∴
=
,
整理得,t
2-10t+9=0,
解得t
1=1,t
2=9(舍去),
所以,t=1時(shí),點(diǎn)P、M、D在同一直線上.
點(diǎn)評:本題是相似形綜合題,主要考查了直角梯形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),(3)①要根據(jù)等腰三角形的腰長分情況討論,②根據(jù)兩對相似三角形的過渡量
得到比例式是解題的關(guān)鍵.