Question

如圖，直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，1），與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（-3，0）；P、Q分別是x軸和直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持QA=QP；△APQ沿直線PQ翻折得到△CPQ，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)C．
（1）求直線AB的解析式．
（2）是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)C恰好落在直線AB上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)C恰好落在直線AB上時(shí)，PQ一定垂直于直線AB，可以分成P在x軸的正半軸以及在OB之間，和P在B點(diǎn)三種情況進(jìn)行討論，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則

b=1 -3k+b=0

解得

b=1 k= 1 3

，
即y=

1

3

x+1；

（2）分三種情況考慮下
第一種情況（如圖甲）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A，Q，C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形．
根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t+1，t）．
∵點(diǎn)C落在直線AB上，
∴

1

3

(t+1)+1=t，解得t=2．即P的坐標(biāo)為（2，0）．

第二種情況（如圖乙）：設(shè)P的坐標(biāo)為（t，0）
∵△APQ與△CPQ關(guān)于直線PQ對(duì)稱，并且點(diǎn)A，Q，C共線，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC，
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P為頂角的等腰直角三角形．
根據(jù)AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t-1，-t）．
∵點(diǎn)C落在直線AB上，∴

1

3

(t-1)+1=-t，解得t=-

1

2

．
即P的坐標(biāo)為（-

1

2

，0）．

第三種情況（如圖丙）：
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，Q恰好是線段AB的中
點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C與點(diǎn)A重
合，但A，P，Q三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，
故不符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)求函數(shù)的解析是，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解當(dāng)C恰好落在直線AB上時(shí)，PQ一定垂直于直線AB，從而根據(jù)P的位置進(jìn)行討論是關(guān)鍵．