Question

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足為E．求證：BE=DE．
（2）如圖2，AB是⊙O的直徑，DF⊥AB于點D，交弦AC于點E，F(xiàn)C=FE．求證：FC是⊙O的切線．

Answer 1

（1）證明：作CF⊥BE，垂足為F，如圖1，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，
∠CBE+∠ABE=90°，
∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵四邊形EFCD為矩形，
∴DE=CF．
在△BAE和△CBF中，
，
∴△BAE≌△CBF（AAS），
∴BE=CF，
∴BE=DE；

（2）證明：連接OC，如圖2，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
又∵∠AED=∠FEC，
∴∠FCE=∠AED．
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A，
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠FCE+∠OCE=90°，
∴∠FCO=90°，
即OC⊥FC，
又∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線．
分析：（1）作CF⊥BE，垂足為F，易得四邊形EFCD為矩形，則DE=CF，根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠CBF，然后根據(jù)“AAS”判斷△BAE≌△CBF，則BE=CF，于是BE=DE；
（2）連接OC，由FC=FE得∠FCE=∠FEC，而∠AED=∠FEC，則∠FCE=∠AED，加上∠OCA=∠A，由∠ADE=90°得到∠A+∠AED=90°，所以∠FCE+∠OCE=90°，則OC⊥FC，根據(jù)切線的判定即可得到FC是⊙O的切線．
點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．