Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．

（1）如圖1，P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H．求證：△ADP≌△HCQ；

（2）若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE．請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．

（3）如圖2，若P為DC邊上任意一點，延長PA到E，使AE＝nPA（n為常數(shù)），以PE，PB為邊作平行四邊形PBQE．請?zhí)骄繉�角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在最小值，最小值為10；（3）存在最小值，最小值為 ( n＋4 )．

【解析】

（1）首先根據(jù)四邊形PCQD是平行四邊形，可得PD=QC；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△APD≌△HQC即可．

（2）設與相交于點，由平行線得出，得出是上一定點，作，交的延長線于，證明，得出，求出得出，當時，的長最小，即為5．

（3）設與相交于點，由平行線得出＝＝，作，交的延長線于，過點作，交的延長線于，證明，得出＝＝，求出BH＝2(n＋1)，得出，過點作于，則四邊形是矩形，得出，，證出，由三角函數(shù)得出CK＝CH·cos45°＝( 2n＋8 )＝( n＋4 )，即可得出結(jié)果．

解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCH

即∠ADP＋∠PDC＝∠DCQ＋∠QCH，

∵四邊形PCQD是平行四邊形，

∴PD∥CQ，PD＝CQ，

∴∠PDC＝∠DCQ，

∴∠ADP＝∠QCH，

又∵PD＝CQ，∠A＝∠CHQ＝90°，

∴△ADP≌△HCQ（AAS）

（2）存在最小值，最小值為10．

如圖，設PQ與DC相交于點G，

∵PE∥CQ，易得△DPG∽△CQG，

又PD＝DE＝PE，PE＝CQ，

∴＝ ＝ ，

∴G是DC上一定點

作QH⊥BC，交BC的延長線于H

同（1）可證∠ADP＝∠QCH

∴Rt△ADP∽Rt△QCH

∴＝ ＝，

∴CH＝4，

∴BH＝BC＋CH＝6＋4＝10，

∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為10．

（3）存在最小值，最小值為 ( n＋4 )．

如圖，設PQ與AB相交于點G

∵PE∥BQ，AE＝nPA，

∴＝＝，

∴G是AB上一定點，

作QH∥DC，交CB的延長線于H，作CK⊥CD，交QH的延長線于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠ADP＝∠BHQ，

∵∠PAD＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，

∴∠PAD＝∠QBH，

∴△ADP∽△BHQ，

∴＝＝

∴BH＝2(n＋1) ，

∴CH＝BC＋BH＝6＋2n＋2＝2n＋8，

過點D作DM⊥BC于M，則四邊形ABMD是矩形，

∴BM＝AD＝2，DM＝AB＝4，

∴MC＝BC－BM＝6－2＝4＝DM，

∴∠DCM＝45°，

∴∠HCK＝45°，

∴CK＝CH·cos45°＝( 2n＋8 )＝( n＋4 ) ，

∴當PQ⊥CD時，PQ的長最小，最小值為 ( n＋4 )．