Question

如圖（1），PC是⊙O的直徑，PA與PB是弦，且∠APC=∠BPC．
（1）求證：PA=PB；
（2）如果點P是由圓上運動到圓外，PC過圓心．如圖（2），是否仍有PA=PB？為什么？
（3）如圖（3），如果點P由圓上運動到圓內呢？

Answer 1

解：（1）作OE⊥PA于點E，OF⊥PB于點F，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
可證△POE≌△POF，
∴PE=PF．
又∵PE=PA，PF=PB，
∴PA=PB．

（2）、（3）結論成立．
（2）證明：作OE⊥PA于點E，OF⊥PB于點F，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
根據在同圓中圓心距相等，則相對應的弦相等，
∴PA=PB．

（3）作OE⊥PA于點E，OF⊥PB于點F，設延長AP交圓于點H，延長BP交圓于點G，
∵∠APC=∠BPC，
∴OE=OF，
根據在同圓中圓心距相等，則相對應的弦相等，
∴AH=BG，
△POE≌△POF，
∴PE=PF，AE=BF，EH=FG，
∴EH-PE=GF-PF，
即PH=PG，
∴PA=PB．
分析：（1）作出弦心距，利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等求得△POE≌△POF，而證得PA=PB；
（2）（3）同（1）．
點評：本題利用了角的平分線的性質：平分線上的點到兩邊的距離相等；和全等三角形的判定和性質求解．