(2005•資陽)如圖,已知O為坐標(biāo)原點,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且點A的坐標(biāo)為(2,0).
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、B、O三點,求此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O、B)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)在Rt△OAB中,由∠AOB=30°可以得到OB=,過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,利用已知條件可以求出OD,BD,也就求出B的坐標(biāo);
(2)根據(jù)待定系數(shù)法把A,B,O三點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中就可以求出解析式;
(3)設(shè)存在點C(x,x2+x),使四邊形ABCO面積最大,而△OAB面積為定值,只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,而|CF|=yC-yF=x2+x-x=-x2+x,這樣可以得到S△OBC=x2+x,利用二次函數(shù)就可以求出△OBC面積最大值,也可以求出C的坐標(biāo).
解答:解:(1)在Rt△OAB中,
∵∠AOB=30°,
∴OB=
過點B作BD垂直于x軸,垂足為D,則OD=,BD=
∴點B的坐標(biāo)為().(1分)

(2)將A(2,0)、B()、O(0,0)三點的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c,
(2分)
解方程組,有a=,b=,c=0.(3分)
∴所求二次函數(shù)解析式是y=x2+x.(4分)

(3)設(shè)存在點C(x,x2+x)(其中0<x<),使四邊形ABCO面積最大
∵△OAB面積為定值,
∴只要△OBC面積最大,四邊形ABCO面積就最大.(5分)
過點C作x軸的垂線CE,垂足為E,交OB于點F,
則S△OBC=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|,(6分)
而|CF|=yC-yF=x2+x-x=-x2+x,
∴S△OBC=x2+x.(7分)
∴當(dāng)x=時,△OBC面積最大,最大面積為.(8分)
此時,點C坐標(biāo)為(),四邊形ABCO的面積為.(9分)
點評:本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形變換、解直角三角形、利用二次函數(shù)探究不規(guī)則圖形的面積最大值重要知識點,綜合性強(qiáng),能力要求極高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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(3)在(2)中的二次函數(shù)圖象的OB段(不包括點O、B)上,是否存在一點C,使得四邊形ABCO的面積最大?若存在,求出這個最大值及此時點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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