Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中線，過C的直線CG⊥AD于E，交AB于F，∠FBG=45°．
求證：（1）△ACD≌△CBG；
（2）∠ADC=∠FDB．

Answer 1

證明：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，又∠FBG=45°，
∴∠CBG=∠CBA+∠FBG=90°，
∵CG⊥AD，
∴∠GCB+∠CDA=90°，又∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠GCB=∠CAD，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA）；
（2）∵△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，∠ADC=∠CGB，
又D為BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴BG=BD，
在△BGF和△BDF中，
，
∴△BGF≌△BDF（SAS），
∴∠CGB=∠BDF，
∴∠ADC=∠BDF．
分析：（1）由△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用等邊對(duì)等角及三角形的內(nèi)角和定理求出∠CBA=45°，再由∠FBG=45°，根據(jù)∠CBA+∠FBG求出∠CBG為直角，得到一對(duì)直角相等，再由CG垂直于AD，得到兩對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，以及AC=BC，利用ASA即可得出△ACD≌△CBG；
（2）由△ACD≌△CBG，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等分別得到CD=BG，∠ADC=∠CGB，由D為BC的中點(diǎn)，得到CD=BD，等量代換得到BD=BG，由BF為公共邊及夾角都為45°角相等，利用SAS可得出△BGF≌△BDF，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠CGB=∠BDF，等量代換即可得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．