Question

（1）如圖1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點(diǎn)C在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l于E，BF⊥l于F，則線段CE與BF的數(shù)量關(guān)系是______；
（2）如圖2，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，F(xiàn)Q⊥AN于Q，判斷線段EP、FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明；
（3）如圖3，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABGE和ACHF，線AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，F(xiàn)Q⊥AN于Q，如果GB=kAB，HC=kAC，（2）中結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證Rt△AEC≌Rt△CFB，由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論CE=BF；
（2）由條件可以證明Rt△EQA≌Rt△ANC，可以得出FQ=AN，由Rt△EPQ≌Rt△ANB可以得出EP=AN，從而得出EP=FQ；
（3）由條件可以得出Rt△FQA∽R(shí)t△ANC，Rt△EPA∽R(shí)t△ANB，從而證明，，從而得出EP=FQ．
解答：解：（1）CE=BF．理由如下：
∵∠C=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCF
∵AC=BC，
∴Rt△AEC≌Rt△CFB，
∴CE=BF；

（2）EP=FQ．理由如下：
∵四邊形ABGE和四邊形ACHF都是正方形，
∴AE=AB，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∵AN⊥BC于N，EP⊥AN于P，F(xiàn)Q⊥AN于Q，
∴∠ANC=∠ANB=∠EPA=∠FQA=90°，
∴∠EAP=∠ABN，∠FAQ=∠ACN，
∴Rt△FQA≌△ANC，△EPA≌△ANB，
∴FQ=AN，EP=AN，
∴EP=FQ；

（3）（2）中結(jié)論還成立，即EP=FQ；理由如下：
同（2）一樣可得∠EAP=∠ABN，∠FAQ=∠ACN，
∴Rt△FQA∽△ANC，△EPA∽△ANB，
∴FQ：AN=AF：AC，EP：AN=AE：AB，
又∵GB=kAB，HC=kAC，
∴AF：AC=AE：AB=k，
∴FQ：AN=EP：AN，
∴EP=FQ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)角分別相等的兩三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．