Question

在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（I）驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：
（a+b）²，也可表示為：c²+4•（

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ab），
即（a+b）²=c²+4•（

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ab）由此推出勾股定理a²+b²=c²，這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．

（1）請你用圖（II）（2002年國際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）；
（2）請你用（III）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證（x+y）²=x²+2xy+y²；
（3）請你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+p）（x+q）=x²+px+qx+pq=x²+（p+q）x+pq．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；
（2）可以拼成一個(gè)邊長是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長分別是x、y的正方形和兩個(gè)長、寬分別是x、y的長方形組成；
（3）可以拼成一個(gè)長、寬分別是x+p和x+q的長方形，它由邊長是x的正方形，長寬分別是x和p，x和q，p和q組成的圖形．

解答：解：（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：（b-a）²；
四個(gè)陰影部分直角三角形面積和為：4×

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ab；
由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：c²=（b-a）²+4×

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ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）²，它的面積也等于兩個(gè)邊長分別為x，y和兩個(gè)長為x寬為y的矩形面積之和，即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如圖示：大矩形的長、寬分別為（x+p），（x+q），則其面積為：（x+p）•（x+q），從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個(gè)邊長為x的正方形和三個(gè)小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：x²+px+qx+pq，則有：（x+p）（x+q）=x²+px+qx+pq=x²+（p+q）x+pq．

點(diǎn)評：注意熟練掌握通過不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來證明一些公式的方法．