Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥BD；
（2）當(dāng)∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM時，求MN的長．

Answer 1

（1）證明：連接BM、DM．
∵∠ABC=∠ADC=90°，點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是邊AC、想BD的中點(diǎn)，
∴，
∵N是BD的中點(diǎn)，
∴MN是BD的垂直平分線，
∴MN⊥BD．

（2）解：∵∠BCA=15°，，
∴∠BCA=∠CBM=15°，
∴∠BMA=30°，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠BMA=30°，
∵AC=10，，
∴BM=5，
在Rt△BMN中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，
∴，
答：MN的長是2.5．
分析：（1）連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上 的中線的性質(zhì)求出BM=DM，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)求出∠BMN=30°，求出∠NBM=30°，求BM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出即可．
點(diǎn)評：本題主要考查對三角形的外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能求出∠MBN和BM的長是解此題的關(guān)鍵．