【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A(,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),其對稱軸為直線x=1.

(1)直接寫出拋物線的解析式

(2)把線段AC沿x軸向右平移,設(shè)平移后A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、C′,當(dāng)C′落在拋物線上時(shí),求A′、C′的坐標(biāo);

(3)除(2)中的點(diǎn)A′、C′外,在x軸和拋物線上是否還分別存在點(diǎn)E、F,使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)(0,0),(2,4);(3)存在點(diǎn)E、F,使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為:.

【解析】

試題(1)先求得B點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法交點(diǎn)拋物線的解析式:

A(,0),對稱軸為直線x=1,B(4,0).

把A(,0),B(4,0)代入拋物線的表達(dá)式得:

,解得:.

拋物線的解析式為:.

(2)根據(jù)平移性質(zhì)及拋物線的對稱性,求出A′、C′的坐標(biāo).

(3)分AC為平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論即可

試題解析:解:(1).

(2)拋物線的解析式:,

當(dāng)x=0時(shí),y=4. 點(diǎn)C(0,4).

拋物線的對稱軸為x=1,點(diǎn)C關(guān)于x=1的對稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(2,4).

點(diǎn)C向右平移了2個(gè)單位長度.

則點(diǎn)A向右平移后的點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(0,0).

點(diǎn)A′,C′的坐標(biāo)分別分(0,0),(2,4).

(3)存在.

設(shè)F(x,).

若以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則:

AC為平行四邊形的邊,如答圖1,

)若CFEA為平行四邊形,

則CF1AE1且CF1=AE1

此時(shí),E1,F(xiàn)1分別與點(diǎn)A′、C′重合,與題意不符,舍去.

)若CEFA為平行四邊形,則ACFE且AC=FE,

過點(diǎn)F2作F2Dx軸于點(diǎn)D,則易證RtAOCRtE2DF2,

DE=2,DF2=4.

解得:

.

若AC為平行四邊形的對角線,如答圖2.

則CF4E4A且CF4=E4A,

F4(2,4),E4,0).

此時(shí), F4與點(diǎn)C′重合,與題意不符,舍去.

綜上所述,存在點(diǎn)E、F,使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,點(diǎn)E、F的坐標(biāo)為:.

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