Question

（2002•西城區(qū)）已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線，設(shè)切點(diǎn)為C．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖1所示時(shí)，連接AC，作∠APC的平分線，交AC于點(diǎn)D，請(qǐng)你測(cè)量出∠CDP的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置如圖2和圖3所示時(shí)，連接AC，請(qǐng)你分別在這兩個(gè)圖中用尺規(guī)作∠APC的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．設(shè)此角平分線交AC于點(diǎn)D，然后在這兩個(gè)圖中分別測(cè)量出∠CDP的度數(shù)；猜想：∠CDP的度數(shù)是否隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化？請(qǐng)對(duì)你的猜想加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用量角器測(cè)量即可；
（2）連接BC，根據(jù)弦切角與它所夾弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系，可以判斷∠1=∠A，再根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的內(nèi)角的和求出各角之間的關(guān)系．
解答：解：（1）測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°，圖2中的測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°，圖3中的測(cè)量結(jié)果：∠CDP=45°．

（2）猜想：∠CDP=45°為確定的值，∠CDP的度數(shù)不隨點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線上的位置的變化而變化．
證法一：連接BC
∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90°
∵PC切⊙O于點(diǎn)C
∴∠1=∠A
∵PD平分∠APC
∴∠2=∠3
∵∠4=∠1+∠2，∠CDP=∠A+∠3
∴CDP=45°
∴猜想正確．
證法（二）：連接OC
∵PC切⊙O于點(diǎn)C
∴PC⊥OC
∴∠1+∠CPO=90°
∵PD平分∠APC
∴∠2=∠CPO
∵OA=OC
∴∠A=∠3
∵∠1=∠A+∠3
∴∠A=∠1
∴∠CDP=∠A+∠2=（∠1+∠CPO）=45°
∴猜想正確．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道探索性題目，先進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行推測(cè)，然后根據(jù)弦切角定理和三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系進(jìn)行證明．