Question

已知1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，這里n為任意正整數(shù)，請你利用恒等式（n+1）³=n³+3n²+3n+1，推導(dǎo)出1²+2²+3²+…+n²的計算公式．

Answer 1

考點：整式的混合運算

專題：計算題

分析：根據(jù)已知等式得到n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子，相加推導(dǎo)出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．

解答：解：∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴當式中的n從1、2、3、依次取到n時，就可得下列n個等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
將這n個等式的左右兩邊分別相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)-n

3

=

1

6

n（n+1）（2n+1）．

點評：此題考查了整式的混合運算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．