Question

已知：如圖，AD∥OB，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線MN，分別交AD、OB于點(diǎn)M和N，且MP=NP．
求證：點(diǎn)P到AO和AD的距離相等．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OA于點(diǎn)F，PG⊥AD于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PE=PF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠PNE=∠PMG，然后利用“角角邊”證明△PEN和△PGM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PE=PG，從而得到PF=PG．

解答：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OA于點(diǎn)F，PG⊥AD于點(diǎn)G，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OB于點(diǎn)E，PF⊥OA于點(diǎn)F，
∴PE=PF，
∵AD∥OB，
∴∠PNE=∠PMG，
在△PEN和△PGM中，

∠PNE=∠PMG ∠PEN=∠PGM=90° PM=PN

，
∴△PEN≌△PGM（AAS），
∴PE=PG，
∴PF=PG，
即點(diǎn)P到AO和AD的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．