Question

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD是圓O的直徑，AH⊥BC，垂足為H，連接BD．
（1）求證：△ABD∽△AHC；
（2）若tan∠ABC=，AH=，CH=，求圓O的直徑長．

Answer 1

（1）證明：∵AD是圓O的直徑，∴∠ABD=90°．
∵AH⊥BC，∴∠AHC=90°．
∴∠ABD=∠AHC．
∵∠D=∠C（同弧所對(duì)的圓周角相等），
∴△ABD∽△AHC．

（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵△ABD∽△AHC，
∴，即，解得．
分析：（1）由于AD為直徑，AB⊥BD，又AH⊥BC，弧AB對(duì)應(yīng)的∠ADB=∠ACB，則得證△ABD∽△AHC．
（2）由AH、CH的長求得AC的長，由tan∠ABC=求得BH的長，再得AB的長，最后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得AD的長．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，同學(xué)們應(yīng)好好掌握．