Question

已知△ABC的面積為S．
（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA，試求△ABD的面積（用含S的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，分別延長△ABC的邊BC、CA、AB到點(diǎn)D、E、F，使CD=BC、AE=CA、FB=BA，連結(jié)DE，EF，F(xiàn)D得到△DEF，試探究△ECD、△FAE和△DBF的面積之間的關(guān)系，并對你的結(jié)論給予證明；
（3）像（2）中那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)其端點(diǎn)得到△DEF，叫做將△ABC向外進(jìn)行了1次倍邊擴(kuò)展，如圖3，△MGH是將△ABC向外進(jìn)行了2次倍邊擴(kuò)展所得到的三角形．問經(jīng)過多少次倍邊擴(kuò)展后所得三角形的面積會超過2008S？為什么？

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：

分析：（1）由BC=CD，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)，即可得S_△ABC=S_△ACD=S，則可求得△ABD的面積；
（2）首先連接AD，由CD=BC、AE=CA，易得S_△DEA=S_△DAC=S_△ACD=S_△ABC=S，則可求得S_△ECD=2S，同理可得S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF=2S；
（3）由（2）易得：將△ABC向外進(jìn)行n次倍邊擴(kuò)展所得到的三角形的面積為：7ⁿS，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵BC=CD，
∴S_△ABC=S_△ACD=S，
∴S_△ABD=2S；

（2）S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF．
證明：連接AD，
∵EA=AC，BC=CD，
∴S_△DEA=S_△DAC=S_△ACD=S_△ABC=S，
∴S_△ECD=2S，
同理：S_△FAE=S_△FBD=2S，
∴S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF．

（3）經(jīng)過4次倍邊擴(kuò)展后所得三角形的面積會超過2008S．
理由：由（2）可得：S_△ECD=S_△FAE=S_△DBF=2S，
∴S_△EFD=S_△ECD+S_△FAE+S_△DBF+S_△ABC=2S+2S+2S+S=7S，
∴經(jīng)過1次倍邊擴(kuò)展后所得面積為原三角形面積的7倍，
即S_△EFD=7S，
∵將△ABC向外進(jìn)行了2次倍邊擴(kuò)展所得到的△MGH可以看成是由△DEF進(jìn)行了1次倍邊擴(kuò)展所得，
∴S_△HMG=7S_△EFD=7²S，
∴將△ABC向外進(jìn)行n次倍邊擴(kuò)展所得到的三角形的面積為：7ⁿS，
當(dāng)n=4時，7⁴S=2401S＞2008S，
∴經(jīng)過4次倍邊擴(kuò)展后所得三角形的面積會超過2008S．

點(diǎn)評：此題考查了三角形中線的性質(zhì)，屬于面積及等積變換問題．此題難度較大，注意得到規(guī)律：將△ABC向外進(jìn)行n次倍邊擴(kuò)展所得到的三角形的面積為：7ⁿS，是解此題的關(guān)鍵．