Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，將△ABC繞點C旋轉，使點A落在⊙O上的點D處，得到△DEC，連接BD．
（1）試說明點B、D、E在同一直線上；
（2）當AB=AC時，求證：CE是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）∵△DEC是由△ABC旋轉得到，
∴△DEC≌△ABC．
∴∠CDE=∠A．
∵四邊形ABDC是⊙O的內接四邊形，
∴∠A+∠CDB=180°．
∴∠CDE+∠CDB=180°．
∴點B、D、E在同一直線上．

（2）過點C作直徑CM，連接DM，則∠CDM=90°．
∴∠1+∠M=90°．
∵△DEC≌△ABC，
∴CD=CA，DE=AB，CE=CB．
∴∠2=∠E．
∵AB=AC，
∴CD=DE，
∴∠3=∠E．
∴∠2=∠3．
∵∠2=∠M，
∴∠M=∠3．
∴∠1+∠3=90°．
∴CE⊥CM．
∴CE是⊙O的切線．
分析：（1）要證明B、D、E在同一直線上，則能證明出∠CDE+∠CDB=180°即可，
（2）過點C作直徑CM，連接DM，由角的等量關系證明出CE⊥CM．
點評：本題考查了切線的判定，全等三角形判定等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．