Question

如圖，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D為AB上任意一點，過A、C分別作AB、CD的垂線相交于點E，tanB=

5

2

，
（1）求證：△AEC∽△BDC；
（2）求S_△AEC：S_△BDC．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）欲證明△AEC∽△BDC，只需證明∠EAC=∠B，∠ECA=∠BCD．
（2）利用相似三角形面積的比等于其相似比的平方，結合直角三角形的邊角關系即可解決問題．

解答：解（1）∵AE⊥AB，AC⊥BC，
∴∠EAC+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，
故∠EAC=∠B；
又∵CE⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ECA+∠ACD=∠BCD+∠ACD，故∠ECA=∠BCD；
而∠EAC=∠B，
∴△AEC∽△BDC．
（2）∵△AEC∽△BDC，
∴S

S△AEC

S△BDC

=(

AC

BC

)2；
而tanB=

AC

BC

=

5

2

，
∴

S△AEC

S△BDC

=

25

4

，
即S_△AEC：S_△BDC=

25

4

．

點評：考查了相似三角形的判定及其性質的應用問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．