Question

（1997•安徽）（1）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2）、點(diǎn)B（2，-3）和點(diǎn)O（0，0），求它的解析式．
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2）和點(diǎn)B（2，-3）時(shí)，求證：方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）分別把點(diǎn)A（-2，2）、點(diǎn)B（2，-3）和點(diǎn)O（0，0）分別代入解析式得到關(guān)于a、b、c的方程組

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，然后解方程組即可；
（2）先把點(diǎn)A（-2，2）和點(diǎn)B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，解關(guān)于b、c的方程組得到

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，再計(jì)算方程ax²+bx+c=0的根的判別式得到△=b²-4ac，把b、c的值代入后整理得到△=15a²+（a+1）²+

9

16

，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到方程ax²+bx+c=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

解答：（1）解：把點(diǎn)A（-2，2）、點(diǎn)B（2，-3）和點(diǎn)O（0，0）分別代入解析式得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3 c=0

，
解方程組得

a=- 1 8 b=- 5 4 c=0

，

所以拋物線的解析式為y=-

1

8

x²-

5

4

x；

（2）證明：把點(diǎn)A（-2，2）和點(diǎn)B（2，-3）代入y=ax²+bx+c（a≠0）得

4a-2b+c=2 4a+2b+c=-3

，
解得

b=- 5 4 c=-4a- 1 2

，
在方程ax²+bx+c=0中，
∵△=b²-4ac
=

25

16

-4a•（-4a-

1

2

）
=16a²+2a+

25

16

=15a²+（a+1）²+

9

16

，
∴△＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有兩不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：常設(shè)二次函數(shù)的解析式有一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式．也考查了一元二次方程根的判別式．