Question

如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動(dòng)點(diǎn)E（與點(diǎn)A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點(diǎn)。

（1）當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)；

（3）試問(wèn)在AB上是否存在點(diǎn)P，使得△EFP為等腰直角三角形?若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等

∴

又∵ES∥AB，∴△ECF∽△ACB

∴

（2）設(shè)CE的長(zhǎng)為

∵△ECF∽△ACB，∴，∴

由△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等，得

 

解得，∴CE的長(zhǎng)為

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：

①如圖，假設(shè)∠PEF=90°，EP=EF。

由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°

∴Rt△ACB斜邊AB上高。

設(shè)EP=EF=，由△ECF∽△ACB，得

，即，

解得，即EF=

當(dāng)∠EFP’=90°，EF=FP’時(shí)，同理可得EF=

②如圖，假設(shè)么EPF=90°，PE=PF時(shí)，點(diǎn)P到EF的距離為EF。

設(shè)EF=，由△ECF∽△ACB，得

，即。

解得，，即EF=，

綜上所述，在AB上存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰直角三角形，

此時(shí)EF=或EF=.