Question

設(shè)A是給定的正有理數(shù)．
（1）若A是一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形的面積，證明：一定存在3個正有理數(shù)x、y、z，使得x²-y²=y²-z²=A．
（2）若存在3個正有理數(shù)x、y、z，滿足x²-y²=y²-z²=A，證明：存在一個三邊長都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．

Answer 1

考點(diǎn)：非一次不定方程（組）,三角形的面積,直角三角形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長，a，b，c都是有理數(shù)，且a²+b²=c²，

1

2

ab=A，由若a=b，求得

c

a

=

2

，可知a≠b；所以設(shè)a＜b，x=

a+b

2

，y=

c

2

，z=

b-a

2

即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)三個有理數(shù)x，y，z滿足x²-y²=y²-z²=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，代入檢驗(yàn)即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長，a，b，c都是有理數(shù)，且a²+b²=c²，

1

2

ab=A，
若a=b，則2a²=c²，

c

a

=

2

，這與a，c都是有理數(shù)的假定矛盾，故a≠b．
不妨設(shè)a＜b，取x=

a+b

2

，y=

c

2

，z=

b-a

2

，則x，y，z都是有理數(shù)，
且x²-y²=

(a+b)2-c2

4

=

1

2

ab=A，y²-z²=

c2-(b-a)2

4

=

1

2

ab=A．

（2）設(shè)三個有理數(shù)x，y，z滿足x²-y²=y²-z²=A，則x＞y＞z，取a=x-z，b=x+z，c=2y，則a，b，c都是有理數(shù)，
且a²+b²=2（x²+z²）=4y²=c²，

1

2

ab=

1

2

（x²-z²）=

1

2

[（x²-y²）+（y²-z²）]=A．
即存在一個三邊長a，b，c都是有理數(shù)的直角三角形，它的面積等于A．

點(diǎn)評：此題考查了有理數(shù)知識與完全平方式的應(yīng)用．題目難度較大，注意構(gòu)造符合要求的有理數(shù)是解題的關(guān)鍵．