Question

【題目】已知直線(xiàn)l1∥l2∥l3 ， 等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在l1 ， l2 ， l3上，若∠ACB=90°，l1 ， l2的距離為1，l2 ， l3的距離為3，求：
（1）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2） 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：

過(guò)A作AN⊥直線(xiàn)l3于N，過(guò)B作BM⊥l3于M，

則∠BMC=∠ANC=∠BCA=90°，

∴∠BCM+∠MBC=90°，∠BCM+∠ACN=90°，

∴∠MBC=∠ACN，

在△BMC和△CNA中

∴△BMC≌△CNA，

∴BM=CN，AN=CM，

∵l1，l2的距離為1，l2，l3的距離為3，

∴BM=CN=3，CM=AN=1+3=4，

在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC=AC= =5，

在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= =5

（2）解：∵直線(xiàn)l2∥直線(xiàn)l3，

∴∠DBC=∠BCM，

∵∠BCD=∠BMC=90°，

∴△BCD∽△CMB，

∴ = ，

∴ = ，

∴BD= ，

∵AB=5 ，

∴ = =

【解析】（1）過(guò)A作AN⊥直線(xiàn)l3于N，過(guò)B作BM⊥l3于M，根據(jù)全等三角形的判定得出△BMC≌△CNA，根據(jù)全等得出BM=CN，AN=CM，求出BM和CM，根據(jù)勾股定理求出BC、AC，再求出AB即可；（2）根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)得出∠DBC=∠BCM，根據(jù)相似三角形的判定得出△BCD∽△CMB，得出比例式，求出BD，即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．