【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點P(x1,y1),Q(x2,y2)是圖形W上的任意兩點.

定義圖形W的測度面積:若|x1﹣x2|的最大值為m,|y1﹣y2|的最大值為n,則S=mn為圖形W的測度面積.

例如,若圖形W是半徑為1的⊙O,當(dāng)P,Q分別是⊙O與x軸的交點時,如圖1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;當(dāng)P,Q分別是⊙O與y軸的交點時,如圖2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4

(1)若圖形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.

①如圖3,當(dāng)點A,B在坐標(biāo)軸上時,它的測度面積S=

②如圖4,當(dāng)AB⊥x軸時,它的測度面積S= ;

(2)若圖形W是一個邊長1的正方形ABCD,則此圖形的測度面積S的最大值為 ;

(3)若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD,求它的測度面積S的取值范圍.

【答案】(1)1,1;(2)2;(3)12≤S≤

【解析】

試題分析:(1)由測度面積的定義利用它的測度面積S=|OA||OB|求解即可;

②利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AC,AB,利用測度面積S=|AB||OC|求解即可;

(2)先確定正方形有最大測度面積S時的圖形,即可利用測度面積S=|AC||BD|求解.

(3)分兩種情況當(dāng)A,B或B,C都在x軸上時,當(dāng)頂點A,C都不在x軸上時分別求解即可.

試題解析:(1)①如圖3,

∵OA=OB=1,點A,B在坐標(biāo)軸上,

∴它的測度面積S=|OA||OB|=1,

故答案為:1.

②如圖4,

∵AB⊥x軸,OA=OB=1.

∴AB=,OC=,

∴它的測度面積S=|AB||OC|=×=1,

故答案為:1.

(2)如圖5,圖形的測度面積S的值最大,

∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形.

∴它的測度面積S=|AC||BD|=×=2,

故答案為:2.

(3)設(shè)矩形ABCD的邊AB=4,BC=3,由已知可得,平移圖形W不會改變其測度面積的大小,將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上,

當(dāng)A,B或B,C都在x軸上時,

如圖6,圖7,

矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積,此時S=12.

當(dāng)頂點A,C都不在x軸上時,如圖8,過點A作直線AH⊥x軸于點E,過C點作CF⊥x軸于點F,過點D作直線GH∥x軸,分別交AE,CF于點H,G,則可得四邊形EFGH是矩形,

當(dāng)點P,Q與點A,C重合時,|x1﹣x2|的最大值為m=EF,|y1﹣y2|的最大值為n=GF.

圖形W的測度面積S=EFGF,

∵∠ABC+∠CBF=90°,∠ABC+∠BAE=90°,

∴∠CBF=∠BAE,

∵∠AEB=∠BFC=90°,

∴△AEB∽△BFC,

,

設(shè)AE=4a,EB=4b,(a>0,b>0),則BF=3a,F(xiàn)C=3b,

在RT△AEB中,AE2+BE2=AB2,

∴16a2+16b2=16,即a2+b2=1,

∵b>0,

,

在△ABE和△CDG中,

∴△ABE≌△CDG(AAS)

∴CG=AE=4a,

∴EF=EB+BF=4b+3a,GF=FC+CG=3b+4a,

∴圖形W的測度面積S=EFGF=(4b+3a)(3b+4a)

=12a2+12b2+25a=12+25=12+25,

當(dāng)時,即a=時,測度面積S取得最大值12+25×=,

∵a>0,b>0,

,

∴S>12,

綜上所述:測度面積S的取值范圍為12≤S≤

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