Question

（2006•南通）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B（5，0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點(diǎn)，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求點(diǎn)D，B所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）∠DMC繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜30°后，得到∠D₁MC₁（點(diǎn)D₁，C₁依次與點(diǎn)D，C對應(yīng)），射線MD₁交邊DC于點(diǎn)E，射線MC₁交邊CB于點(diǎn)F，設(shè)DE=m，BF=n．求m與n的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)D作DA⊥OB，垂足為A．利用三角函數(shù)可求得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），設(shè)直線DB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把點(diǎn)B（5，0），D（1，）代入解析式利用待定系數(shù)法，得直線DB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+；
（2）先證明△ODM∽△BMC．得，所以O(shè)D•BC=BM•OM．設(shè)OM=x，則BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）（Ⅰ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖①，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以，
可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-．（Ⅱ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，OM=4，BM=1．同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，得，所以DE=2CF．解得m=2（2-n），即m=4-2n．
解答：解：（1）過點(diǎn)D作DA⊥OB，垂足為A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），
設(shè)直線DB的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，
由B（5，0），D（1，），得，
解得，
∴直線DB的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形ABCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B點(diǎn)為（5，0），
∴OB=5．
設(shè)OM=x，則BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（4，0）；

（3）解：（Ⅰ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，如圖1，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-；
（Ⅱ）當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，如圖2
OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
綜上所述，m與n的函數(shù)關(guān)系式為：m=1-或m=4-2n．
點(diǎn)評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用，其涉及的知識點(diǎn)比較多．解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義結(jié)合梯形的性質(zhì)利用相似比中的成比例線段作為相等關(guān)系求線段之間的等量關(guān)系．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．