【題目】如圖,點(diǎn)B(0,b),點(diǎn)A(a,0)分別在y軸、x軸正半軸上,且滿足 +(b2﹣16)2=0.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),∠OAB的度數(shù);
(2)如圖1,已知H(0,1),在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)G,HG交AB于E,使BE為△BHG的中線,且SBHE=3,
①求點(diǎn)E到BH的距離;
②求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)如圖2,C,D是y軸上兩點(diǎn),且BC=OD,連接AD,過(guò)點(diǎn)O作MN⊥AD于點(diǎn)N,交直線AB于點(diǎn)M,連接CM,求∠ADO+∠BCM的值.

【答案】
(1)解:∵ +(b2﹣16)2=0,

∴a﹣b=0,b2﹣16=0,

解得:b=4,a=4或b=﹣4,a=﹣4,

∵A點(diǎn)在x軸正半軸,B點(diǎn)在y軸正半軸上,

∴b=4,a=4,

∴A(4,0),B(0,4),

∴OA=OB=4,

∴∠OAB=45°


(2)解:①如圖1,作EF⊥y軸于F,

∵B(0,4),H(0,1),

∴BH=OB﹣OH=4﹣1=3,

∵OA=OB=4,

∴△OAB為等腰直角三角形,

∴∠OBA=∠OAB=45°,

∴△BFE為等腰直角三角形,

∴BF=EF=2,

∴OF=OB﹣BF=4﹣1=3,

∴E(2,3),

∴E(2,3)為GH的中點(diǎn),

∵SBHE=3,

BH×EF=3,即 ×3×EF=3,

∴EF=2,

故點(diǎn)E到BH的距離為2.

②設(shè)G(m,n),則

∵BE為△BHG的中線,

, ,

解得m=4,n=5,

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5)


(3)解:如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BK⊥OC,交MN于點(diǎn)K,則∠KBO=∠DOA,

∵M(jìn)N⊥AD,

∴∠DON+∠NOA=90°,

∴∠3+∠NOA=90°,

∵∠NOA+∠1=90°,

∴∠3=∠1,

在△KOB和△OAD中,

,

∴△KOB≌△OAD(ASA),

∴KB=OD,∠2=∠7,

∵BC=OD,

∴KB=BC,

∵OB=OA,∠BOA=90°,

∴∠OBA=45°,

∴∠9=∠8=45°,

在△MKB和△MCB中,

,

∴△MKB≌△MCB(SAS),

∴∠6=∠5,

∵∠7+∠6=180°,

∴∠2+∠5=180°,即∠ADO+∠BCM=180°.


【解析】(1)根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì),得出關(guān)于a、b的方程組,求得a、b即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB的度數(shù);(2)作EF⊥y軸于F,構(gòu)造等腰直角三角形BEF,進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo),利用△BHE的面積即可得到點(diǎn)E到BH的距離;設(shè)G(m,n),根據(jù)BE為△BHG的中線,求得點(diǎn)G坐標(biāo)即可;(3)過(guò)點(diǎn)B作BK⊥OC,交MN于點(diǎn)K,然后證明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB,從而可證明∠ADO+∠BCM=180°.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形和三角形的面積是解答本題的根本,需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°;三角形的面積=1/2×底×高.

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