Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)的值最小時(shí)，求出的坐標(biāo)及的最小值；

（3）如圖2，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，再將繞點(diǎn)作順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，記旋轉(zhuǎn)中的三角形為，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與直線的交點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，M；（3）、、、

【解析】

（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證得，然后由相似三角形的性質(zhì)求得，從而求得GB，HG的長(zhǎng)度，使問題得解；

（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)的值最小即的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求長(zhǎng)度，然后利用待定系數(shù)法求直線的函數(shù)解析式，從而求與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，使問題得解；

（3）依據(jù)△OST為等腰三角形，分4種情況畫出圖形，即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

解：（1）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

因?yàn)?/span>軸

∴HG∥OA

∴，

又∵是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)

∴，

∵，，

∴，

∴

∴

（2）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．

則為，

此時(shí)

∴的最小值為；

設(shè)直線：，把，B（3，0）代入得：

，解得：

∴直線為

當(dāng)時(shí)，

∴為

（3）如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=75°-30°=45°；

如圖，當(dāng)OT=TS時(shí)，α=90°；

如圖，當(dāng)OT=OS時(shí)，α=90°+60°-15°=135°；

如圖，當(dāng)ST=OS時(shí)，α=180°；

綜上所述，α的值為45°，90°，135°，180°．