Question

如圖，點D雙曲線上，AD垂直x軸，垂足為A，點C在AD上，CB平行于x軸交曲線于點B，直線AB與y軸交于點F，已知AC：AD=1：3，點C的坐標為（2，2）．
（1）求該雙曲線的解析式；
（2）求△OFA的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點C的坐標為（2，2）得AC=2，而AC：AD=1：3，得到AD=6，則D點坐標為（2，6），然后利用待定系數(shù)法確定雙曲線的解析式；
（2）已知A（2，0）和B（6，2），利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式，得到F點的坐標，然后利用三角形的面積公式計算即可．
解答：解：（1）∵點C的坐標為（2，2），AD垂直x軸，
∴AC=2，
又∵AC：AD=1：3，
∴AD=6，
∴D點坐標為（2，6），
設雙曲線的解析式為y=，
把D（2，6）代入y=得，k=2×6=12，
所以雙曲線解析式為y=；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵CB平行于x軸交曲線于點B，
∵雙曲線的解析式為y=，
∴B（6，2）
∴把A（2，0）和B（6，2）代入y=kx+b得，2k+b=0，6k+b=2，解得k=，b=-1，
∴線AB的解析式為y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴F點的坐標為（0，-1），
∴S_△OFA=×OA×OF=×2×1=1．
點評：本題考查了利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的方法：把求解析式的問題轉化為解方程或方程組．也考查了坐標與線段之間的關系以及三角形面積公式．